Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度沿AB方向向終點B運動；同時，動點Q也從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AC方向向終點C運動．設兩點運動的時間為t秒（0＜t＜4）．
（1）連接PQ，在點P、Q運動過程中，△APQ與△ABC是否始終相似？請說明理由；
（2）連接PC，設△PCQ的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；
（3）連接PC、BQ，是否存在t的值，使PC⊥BQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）探索：把△PQB沿直線PQ折疊成△PQB′，設QB′與AB交于點E，當△BEQ是直角三角形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）相似
∵∠ACB=90°
∴AB==5
∵PA=，AQ=t
∴
∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC

（2）∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=90°
∵
∴
∴
∵CQ=4-t
∴S==

（3）存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=90°
∵∠CBQ+∠BQC=90°
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=90°
∴△PCQ∽△QBC
∴
∴
∴（舍去）
∴存在t的值為，使PC⊥BQ．

（4）t₁=1，．
分析：（1）已知AC、BC的長，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，根據(jù)，進而即可求得△APQ∽△ABC；
（2）根據(jù)△APQ∽△ABC即可求得，即可求得S關于t的方程式；
（3）先求證△PCQ∽△QBC進而可以得即，求得t的值即可解題．
（4）分別用t表示PE、EQ、BQ的值，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，即可解題．
點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的證明，本題中求△PCQ∽△QBC是解題的關鍵．