Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F，

（1）的值為　  　；

（2）求證：AE=EP；

（3）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D。

∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC。

在Rt△ABE中，AB=3，BE=1，∴。

∴，

（2）證明：在BA邊上截取BG=BE，連接GE，

∵∠B=90°，BG=BE，∴∠BGE=45°。∴∠AGE=135°。

∵CP平分外角，∴∠DCP=45°�！唷螮CP=135°。

∴∠AGE=∠ECP。

∵AB=CB，BG=BE，

∴AB﹣BG=BC﹣BE，即：AG=CE。

又∠GAE=∠CEP，

∵在△AGE和△ECP中，∠AGE=∠ECP，AG=CE，∠GAE=∠CEP，

∴△AGE≌△ECP（ASA）。

∴AE=EP。

（3）存在。證明如下：

如圖，作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，則有：DM∥EP，

連接ME、DP，

∵在△ADM與△BAE中，

AD=BA，∠ADM=∠BAE，∠DAM=∠ABE，

∴△ADM≌△BAE（AAS）�！郙D=AE。

∵由（2）AE=EP，∴MD=EP。∴MDEP。

∴四邊形DMEP為平行四邊形。

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答：

（2）在BA邊上截取BG=BE，連接GE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AGE=∠ECP，由AB=CB，BG=BE，得AG=EC，結(jié)合∠GAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出。

（3）作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進(jìn)而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出�！�