Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像交軸于，交軸于，過畫直線。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點在軸正半軸上，且，求的長；

（3）點在二次函數(shù)圖像上，以為圓心的圓與直線相切，切點為。

① 點在軸右側(cè)，且（點與點對應(yīng)），求點的坐標(biāo)；

② 若的半徑為，求點的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）（2）3/2（3）①或②或

【解析】

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像交軸于

∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：………………1分

又二次函數(shù)的圖像交軸于

將代入，得

解得，………………2分

∴拋物線的解析式為，即………………3分

（2）設(shè)，則

在中，

由勾股定理，得………………4分

解得，，即………………5分

（3）① ∵，點與點對應(yīng)

∴

情形1：如圖，當(dāng)在點下方時

∵

∴軸，∴

點在二次函數(shù)圖像上

∴………………6分

解得（舍去）或，∴………………7分

情形2：如圖，當(dāng)在點上方時

∵

由（2）得，為直線與拋物線的另一交點

設(shè)直線的解析式為

把的坐標(biāo)代入，得

解得，，∴………………8分

由，解得，（舍去）或

此時，∴………………9分

∴點的坐標(biāo)為或

②以為圓心的圓與直線相切，則點到直線的距離即為圓半徑。因為同時也在拋物線上，因此利用平行線間距離處處相等的性質(zhì)，先在軸上找到與直線距離為的點，過點作與直線平行的直線，根據(jù)平行直線的解析式中相等的性質(zhì)確定直線解析式，再聯(lián)立直線與拋物線解析式求得坐標(biāo)。

在軸上取一點，過點作于點，使

∵

∴，∴

∴，解得

∴或

過點作，交拋物線于點

設(shè)直線的解析式為，將代入可得，，解得

∴設(shè)直線的解析式為，將或代入可得，

或，解得或

則直線的解析式為或

當(dāng)時，，

，方程無實數(shù)解 ………………10分

當(dāng)時，，

解得

∴點坐標(biāo)為或……………12分