(2012•北辰區(qū)一模)已知△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,以O為圓心的⊙O與AB相切于點C,⊙O與OA、OB分別交于點D、E.
(1)如圖(1),若AB=6,求⊙O的半徑長;
(2)如圖(2),延長AO交⊙O于點F,求證:直線BF與⊙O相切.
分析:(1)連接OC,由AB與圓O相切,利用切線的性質得到OC垂直于AB,再由OA=OB,利用三線合一得到C為AB的中點,OC為頂角平分線,可得出AC的長及∠AOC的度數(shù),在直角三角形AOC中,∠A=30°,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OA=2OC,利用勾股定理列出關于OC的方程,求出方程的解即可得到OC的長,即為半徑的長;
(2)由∠AOB=120°,利用鄰補角定義求出∠BOF=60°,可得出∠BOC=∠BOF,再由半徑OC=OF,公共邊OB,利用SAS可得出三角形BOC與三角形BOF全等,再由∠OCB=90°,利用全等三角形的對應角相等可得出∠BFO=90°,即BF垂直于AF,可得出BF為圓O的切線,得證.
解答:
解:(1)連接OC,
∵⊙O與AB相切,
∴OC⊥AB,
∵OA=OB,又AB=6,∠AOB=120°,
∴AC=
1
2
AB=3,∠AOC=
1
2
∠AOB=60°,
∴∠A=30°,
∴OA=2OC,
根據(jù)勾股定理得:OA2=OC2+AC2,即4OC2=OC2+9,
解得:OC=
3

則⊙O的半徑為
3
;
(2)∵∠AOB=120°,
∴∠BOF=60°,
∴∠BOF=∠BOC,
在△BOF和△BOC中,
OF=OC
∠BOF=∠BOC
OB=OB

∴△BOF≌△BOC(SAS),
∵∠OCB=90°,
∴∠OFB=∠OCB=90°,
∴BF與圓O相切.
點評:此題考查了切線的判定與性質,全等三角形的判定與性質,等腰三角形的三線合一性質,以及勾股定理,熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵.
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