Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x²-2x-，
∴其對(duì)稱軸為直線x=-=-=2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，-），
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x-，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1-=-，
∴P（2，-）；

（3）存在．
如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，-），
∴N₁（4，-）；
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)N₂作ND⊥x軸于點(diǎn)D，
在△AN₂D與△M₂CO中，

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=，即N₂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
∴x²-2x-=，
解得x=2+或x=2-，
∴N₂（2+，），N₃（2-，）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-），（2+，）或（2-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論．