Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，點P在AC上，且∠MPN＝90º．

當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上時（如圖1），過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，可證t△PME∽t△PNF，得出PN＝PM．（不需證明）

當PC＝PA，點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關系，并任選取一給予證明．

Answer 1

解：如圖2，如圖3中都有結論：PN＝PM

選如圖2： 在Rt△ABC中，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點F

∴四邊形BFPE是矩形     ∴∠EPF＝90º，

∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º

可知∠EPM＝∠FPN      ∴△PFN∽△PEM

∴＝ 

又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º

∴PF＝PC，PE＝PA

∴＝＝   

∵PC＝PA  ∴＝   即：PN＝PM   

若選如圖3，其證明過程同上（其他方法如果正確，可參照給分）