Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的點(diǎn)（不與A，B重合），△ADE與△FDE關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，作射線(xiàn)CF，與DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，連接AG，

（1）當(dāng)∠ADE=15°時(shí)，求∠DGC的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E在AB上移動(dòng)，請(qǐng)你判斷∠DGC的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變化，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2， 當(dāng)點(diǎn)F落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，連接AM，FM，請(qǐng)你判斷四邊形AGFM的形狀，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不會(huì)變化； (3) 四邊形AGFM是正方形

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及正方形性質(zhì)可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度數(shù)；

（2）由(1)知△DFC為等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45；

（3）證明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90，即可得出結(jié)論.

(1)△FDE與ADE關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)

∴△FDE≌△ADE

∴∠FDE＝∠ADE＝15，AD=FD

∴∠ADF=2∠FDE=30

∵ABCD為正方形

∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90

∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60

∴△DFC為等邊三角形

∴∠DFC=60

∵∠DFC為△DGF外角

∴∠DFC=∠FDE+∠DGC

∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15=45

(2)不變.

證明: 由(1)知△DFC為等腰三角形，DF=DC

∴∠DFC=∠DCF= (180-∠CDF) =90-∠CDF①

∵∠CDF=90-∠ADF=90-2∠EDF②

將②代入①得∠DFC=45+∠EDF

∵∠DFC=∠DGC+∠EDF

∴∠DGC=45

(3)四邊形AMFG為正方形.

證明: ∵M為Rt△ADE中斜邊DE的中點(diǎn)

∴AM＝DE

∵M為Rt△FED中斜邊DE的中點(diǎn)

∴FM=DE=AM=MD

由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG

△ADG與△FDG中，

AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG

∴△ADG≌△FDG，

由(2)知∠DGC=45

∴∠DGA=∠DGF=45，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90

∵DB為正方形對(duì)角線(xiàn)，

∴∠ADB=∠45，

∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5

∵DM＝FM

∴∠GDF=∠MFD=22.5

∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45

∴∠GMF=∠DGF＝45

∴MF=FG

∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90

∴四邊形AMFG為正方形。