Question

如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，拋物線過點B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點N的坐標．

（3）在拋物線上是否存在點P，使S_△PBD=6？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）直線BD的解析式為：y=-x+3．拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．（2）點N坐標為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．點P的坐標為（4，3）或（-1，8）．

【解析】

∴，

解得k=-1，b=3，

∴直線BD的解析式為：y=-x+3．

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），

∵點B（0，3）在拋物線上，

∴3=a×（-1）×（-3），

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

如答圖1所示：

（Ⅰ）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為原點O，

∴N₁（0，0）；

（3）假設(shè)存在點P，使S_△PBD=6，設(shè)點P坐標為（m，n）．

（Ⅰ）當點P位于直線BD上方時，如答圖2所示：

（Ⅱ）當點P位于直線BD下方時，如答圖3所示：

過點P作PE⊥y軸于點E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n．

S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=（3+m）•（-n）+×3×3-（3-n）•m=6，

化簡得：m+n=-1 ②，

∵P（m，n）在拋物線上，

∴n=m²-4m+3，

代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7＜0，此方程無解．

故此時點P不存在．

綜上所述，在拋物線上存在點P，使S_△PBD=6，點P的坐標為（4，3）或（-1，8）．

考點：二次函數(shù)綜合題．