如圖,邊長為1的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)F在BC延長線上,且∠CAF=∠CFA,AF交CD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)P.作直線DF.
(1)求的值;
(2)證明:E是AF的中點(diǎn);
(3)判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.

【答案】分析:(1)由AD∥BF得△ADP∽△FCP,則DP:PC=AD:CF=AD:AC=1:
(2)連接CE,則CE⊥AF.根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得證;
(3)連接OD,則∠ODC=45°.因?yàn)镕C>CD,所以∠FDC>45°,得∠ODF>90°.
根據(jù)垂線段最短知點(diǎn)O到DF的距離小于半徑OD,故判定為相交.
解答:解:(1)在正方形ABCD中,
∵∠ADP=∠FCP=90°,
又∵∠APD=∠FPC,
∴△ADP∽△FCP.               (2分)

又∵∠CAF=∠CFA,且AD=AB=BC=1,
∴FC=AC=
.        (4分)

(2)連接CE,由已知可得,AC是⊙O的直徑,
∴∠AEC=90°.                 (6分)
∴CE⊥AF.
又∵∠CAF=∠CFA,
∴△ACF是等腰三角形.
∴AE=FE,
∴E是AF的中點(diǎn).                (8分)

(3)直線DF與⊙O相交.
∵在Rt△DCF中,CF>DC,
∴∠CDF>∠CFD.
而∠CDF+∠CFD=90°,
∴∠CDF>45°.                (10分)
連接OD,則∠ODC=45°.
∴∠ODF=∠ODC+∠CDF>45°+45°=90°.
∴點(diǎn)O到直線DF的距離小于圓的半徑.
∴直線DF與⊙O相交.             (13分)
點(diǎn)評:此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法等知識點(diǎn),綜合性較強(qiáng),有相當(dāng)難度.
練習(xí)冊系列答案
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π2
的正△ABC,點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合,若將該正三角形沿?cái)?shù)軸正方向翻滾一周,點(diǎn)A恰好與數(shù)軸上的點(diǎn)A′重合,則點(diǎn)A′對應(yīng)的實(shí)數(shù)是
 

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如圖,邊長為6的正方OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)處,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)E是OA邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),EF⊥CE,且與正方形外角平分線AC交于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)時(shí),證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請說明理由;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在,用t表示點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(1)當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)時(shí),證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請說明理由;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在,用t表示點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(1)當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)時(shí),證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請說明理由;
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同步練習(xí)冊答案
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