已知:如圖,AC⊙O是的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若OP∥BC,且OP=8,BC=2.求⊙O的半徑.
考點(diǎn):
切線的判定;全等三角形的判定與性質(zhì)
分析:
(1)連接OB,求出∠ABC=90°,∠PBA=∠OBC=∠OCB,推出∠PBO=90°,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)證△PBO和△ABC相似,得出比例式,代入求出即可.
解答:
(1)證明:連接OB,
∵AC是⊙O直徑,
∴∠ABC=90°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠ACB,
∵∠PBA=∠ACB,
∴∠PBA=∠OBC,
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°,
∴OB⊥PB,
∵OB為半徑,
∴PB是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,則AC=2r,OB=R,
∵OP∥BC,∠OBC=∠OCB,
∴∠POB=∠OBC=∠OCB,
∵∠PBO=∠ABC=90°,
∴△PBO∽△ABC,
∴=
,
∴=
,
r=2,
即⊙O的半徑為2.
點(diǎn)評(píng):
本題考查了等腰三角形性質(zhì),平行線性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,切線的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,用了方程思想.
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