Question

如圖，O是△ABC的外接圓的圓心，∠ABC=60°，BF，CE分別是AC，AB邊上的高且交于點(diǎn)H，CE交⊙O于M，D，G分別在邊BC，AB上，且BD=BH，BG=BO，下列結(jié)論：①∠ABO=∠HBC；②AB•BC=2BF•BH；③BM=BD；④△GBD為等邊三角形，其中正確結(jié)論的序號是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①，延長AO交圓于點(diǎn)N，連接BN，可證明∠ABO=∠HBC．因此①正確；
②原式可寫成=，無法直接用相似來求出，那么可通過相等的比例關(guān)系式來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，不難發(fā)現(xiàn)三角形BEC中，∠ABC=60°，那么BC和BE存在倍數(shù)關(guān)系，即BC=2BE，因此如果證得=，可發(fā)現(xiàn)這個比例關(guān)系式正好是相似三角形BEH和BAF的兩組對應(yīng)線段，因此本題的結(jié)論也是正確的．
③要證MB=BD，先看與BD相等的線段有哪些，不難通過相似三角形ABN和BFC（一組直角，∠OBA=∠OAB=∠FBC）得出，將這個結(jié)論和②的結(jié)論進(jìn)行置換即可得出：BD=BO=BH=BG，因此可證MB和圓的半徑相等即可得出BM=BD的結(jié)論．如果連接NC，在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°，因此AN=2NC，NC就是半徑的長．通過相似三角形BME和CAE可得出，而在直角三角形BEC中，BE：EC=tan30°，而在直角三角形ANC中，NC：AC=tan30°，因此，即可得出BM=NC=BO=BD．因此該結(jié)論也成立．
④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH，而∠ABC=60°，因此三角形BGD是等邊三角形．本結(jié)論也成立．
因此四個結(jié)論都成立，
解答：解：①延長AO交圓于點(diǎn)N，連接BN，則∠ABN=90°，又∠ACB=∠N，∠ABO=∠BAO，所以∠ABO=∠HBC．因此①正確；
②原式可寫成=，∠ABC=60°，那么BC=2BE，因此=，所以本題的結(jié)論也是正確的．
③∵△ABN∽△BFC（一組直角，∠OBA=∠OAB=∠FBC）∴，BD=BO=BH=BG，BM=BD．
連接NC，在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°，∴AN=2NC，BE：EC=tan30°，
在直角三角形ANC中，NC：AC=tan30°，，∴BM=NC=BO=BD．
因此該結(jié)論也成立．
④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH，而∠ABC=60°，因此三角形BGD是等邊三角形．本結(jié)論也成立．
因此四個結(jié)論都成立，
故選D．
點(diǎn)評：本題中線段較多，要找準(zhǔn)和已知，所求的條件相關(guān)的線段，然后逐一梳理思路，通過相似三角形來進(jìn)行求解．