Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AC=4，∠C=30°，求$\widehat{EF}$的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，利用角平分線的定義和圓的性質(zhì)可得∠OBE=∠OEB=∠EBD，可證明OE∥BD，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BD，可證得OE⊥AD，可證得AD為切線；
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合條件可求得∠AOE=30°，由（1）可知OE∥BD，設(shè)半徑為r，則OB=OE=r，AO=4-r，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD，由平行線分線段成比例可得到關(guān)于r的方程，可求得圓的半徑，利用弧長(zhǎng)公式可求得$\widehat{EF}$．

解答 （1）證明：
如圖，連接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBD，
∴∠OEB=∠EBD，
∴OE∥BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠OEA=∠BDA=90°，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：
∵AB=AC=4，∠C=∠B=30°，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
設(shè)圓的半徑為r，則BO=OE=r，AO=AC-OB=4-r，
∵OE∥BD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{4-r}{4}$=$\frac{r}{2\sqrt{3}}$，解得r=8$\sqrt{3}$-12，
∴${l}_{\widehat{EF}}$=$\frac{30π×（8\sqrt{3}-12）}{180}$=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2）π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定和弧長(zhǎng)公式，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即當(dāng)有切點(diǎn)時(shí)，連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，沒有切點(diǎn)時(shí)，過(guò)圓心作距離證明距離等于半徑．