Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為.過點(diǎn)作交于，連接.

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn)，也隨之移動.

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖），求菱形的邊長；

②若限定，分別在邊，上移動，求出點(diǎn)在邊上移動的最大距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①菱形BFEP的邊長為cm，②點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm.

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；
（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD-DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②找到E點(diǎn)離A最近和最遠(yuǎn)的兩種情況即可求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

解：（1）∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF.

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=FE=EP，

∴四邊形BFEP為菱形．

（2）①如圖1，　

圖1

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=5cm，

CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°.

∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，

∴CE=BC=5cm.

在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2，

即DE2=52－32，

∴DE=4cm，∴AE=AD－DE=5-4=1（cm）．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE，

∴EP2=12＋（3－EP）2，解得EP=cm，

∴菱形BFEP的邊長為cm.

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖1，點(diǎn)E離A點(diǎn)最近，由①知，此時(shí)AE=1cm.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，

圖2

點(diǎn)E離A點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，

AE=AB=3cm，

∴點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm.