【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點B、C分別在邊AD、AF上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當△ABC繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(2)當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長DB交CF于點H.
①求證:BD⊥CF.
②當AB=2,AD=3 時,求線段BD的長.
【答案】
(1)
解:如圖2中,BD=CF成立.
理由:由旋轉得:AC=AB,∠CAF=∠BAD=θ;AF=AD,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF
(2)
①證明:如圖3中,
由(1)得,△ABD≌△ACF,
∴∠HFN=∠ADN,
∵∠HNF=∠AND,∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②如圖4中,連接DF,延長AB,與DF交于點M.
∵四邊形ADEF是正方形,
∴∠MDA=45°,
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA,∠AMD=90°,
∴AM=DM,
∵AD=3 ,
在△MAD中,AM2+DM2=AD2,
∴AM=DM=3,
∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1,
在△BMD中,BM2+DM2=BD2,
∴BD= =
【解析】(1)結論:BD=CF.只要證明△ABD≌△ACF即可.(2)①在利用“8字型”證明∠FHN=∠DAN=90°,即可解決問題.②如圖4中,連接DF,延長AB,與DF交于點M.在Rt△BDM中,切線BM、DM,再利用勾股定理即可解決問題.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,函數y= (x>0)的圖象與直線y=x﹣2交于點A(3,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知點P(n,n)(n>0),過點P作平行于x軸的直線,交直線y=x﹣2于點M,過點P作平行于y軸的直線,交函數y= (x>0)的圖象于點N. ①當n=1時,判斷線段PM與PN的數量關系,并說明理由;
②若PN≥PM,結合函數的圖象,直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點E在邊AD上,CE與BD相交于點F,AD=4,AB=5,BC=BD=6,DE=3.
(1)求證:△DFE∽△DAB;
(2)求線段CF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,動點P從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動,同時動點Q從B點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動,當P運動到B點時,P、Q兩點同時停止運動.設P點運動的時間為t,△APQ的面積為S,則S與t的函數關系的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在x軸下方上的動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當MN取得最大值時,在拋物線的對稱軸l上是否存在點P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根;
(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數根.第三邊BC的長為5,當△ABC是等腰三角形時,求k的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,線段AB的兩個端點的坐標分別為A(﹣3,0),B(0,4).
(1)畫出線段AB先向右平移3個單位,再向下平移4個單位后得到的線段CD,并寫出A的對應點D的坐標,B的對應點C的坐標;
(2)連接AD、BC,判斷所得圖形的形狀.(直接回答,不必證明)
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