拋物線y＝－x2＋(k＋1)x－k與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，問是否存在實(shí)數(shù)k，使△AOC與以C、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出相應(yīng)的k的值，若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解：令x＝0，則y＝－k，

　　∴C(0，－k)．

　　∵點(diǎn)C在y軸正半軸上，－k＞0，

　　∴k＜0．

　　令y＝0，則－x2＋(k＋1)x－k＝0

　　解得x1＝k，x2＝1．

　　∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊，

　　∴A(k，0)，B(1，0)．

　　(由于k＜0，A、B兩點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，如上圖．)

　　若△AOC和以C、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似，因它們都是直角三角形，只需

　　＝①或＝②，

　　由①得AO＝BO＝1，

　　∴k＝－1！

　　[注意：這里很容易誤認(rèn)為k＝1，要注意k＜0！這是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)k與線段AO(或BO)的長1(－k＝線段AO的長)之間的轉(zhuǎn)化．]

　　由②得CO2＝AO·BO，

　　即(－k)2＝(－k)×1，

　　[注意：這里又是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)k和線段AO的長(－k＝線段AO的長)、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)－k和線段CO的長(－k＝線段CO的長)、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)1與線段BO的長(1＝線段BO的長)之間的轉(zhuǎn)化．]

　　解得k＝0或k＝－1．

　　∵k＜0，

　　∴k＝－1．

　　所以存在k＝－1，使△AOC∽△BOC或△AOC∽△COB．

　　點(diǎn)評：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)與線段的長的轉(zhuǎn)化，不容忽視的基礎(chǔ)知識是：x軸正半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，負(fù)半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)；y軸正半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正，負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)負(fù)．在解題過程中應(yīng)切記．

　　分析：先由拋物線解析式確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)題意進(jìn)行探求．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（11·兵團(tuán)維吾爾）（8分）已知拋物線y＝－x2＋4x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A

點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為P．

（1）求A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在直角坐標(biāo)系中，用列表描點(diǎn)法作出拋物線的圖象，并根據(jù)圖象寫出x取何值時，函

數(shù)值大于零；

（3）將此拋物線的圖象向下平移一個單位，請寫出平稱后圖象的函數(shù)表達(dá)式．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸l與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．

【小題1】(1)求直線BC的解析式．
【小題2】(2)設(shè)點(diǎn)P為該拋物線上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、r為半徑作⊙P．
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；
②若r＝，是否存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆江蘇省江陰市石莊中學(xué)九年級中考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋3x＋4與x軸交于點(diǎn)A、B（A在左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對稱軸與線段BC交于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)(與B、C不重合) ．
【小題1】求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
【小題2】在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)D，使|DC－DB|的值最大，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
【小題3】過點(diǎn)P作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q，連接QM，當(dāng)四邊形PQMN滿足有一組對邊相等時，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省南通市海安縣九年級學(xué)業(yè)水平測試（一模）數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸分別交于點(diǎn)A（4，0），B（－2，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；                                 
（2）M為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M在何處時，△ACM的面積最大；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請求出所有可能點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇省泰興市九年級3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知拋物線y＝－x2＋1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與△PEA相似嗎？

A.始終不相似???????? ? B.始終相似

C.只有AB=AD時相似?? ? D.無法確定

 

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