(2012•門頭溝區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點E.點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線l過點F且與y軸平行.一次函數(shù)y=-x+m的圖象過點C,交y軸于D點.
(1)求點C、點F的坐標(biāo);
(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;
(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點N的坐標(biāo).
分析:(1)令y=0,解方程即可得到點A、B的坐標(biāo),然后根據(jù)點的對稱性求出點C的坐標(biāo),再根據(jù)中點定義求出點F的坐標(biāo);
(2)把點C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)求出m的值,從而得到直線CD的解析式,然后設(shè)出點K的坐標(biāo),并表示出點H、G的坐標(biāo),利用兩點間的距離表示出CD,整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;
(3)根據(jù)直線CD的解析式與拋物線的解析式分別設(shè)出點M、N的坐標(biāo),然后分①AC是平行四邊形的邊,根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等分點N在點M的左側(cè)與右側(cè)兩種情況分別求出點N是橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo),即可得到點N的坐標(biāo);②AC是對角線時,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得M、N關(guān)于點B對稱,根據(jù)對稱性求出點N的橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式求出點N的縱坐標(biāo),即可得解.
解答:解:(1)令y=0,則x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵點A在點B的左側(cè),
∴A(-3,0),B(1,0),
∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點,
∴C(5,0),
∵F是線段BC的中點,
∴F(3,0);

(2)∵一次函數(shù)y=-x+m的圖象過點C(5,0)
∴-5+m=0,
解得,m=5,
∴CD的解析式是y=-x+5,
設(shè)K點的坐標(biāo)是(t,0),則H點的坐標(biāo)是(t,-t+5),G點的坐標(biāo)是(t,t2+2t-3),
∵K是線段AB上一動點,∴-3≤t≤1,
HG=(-t+5)-(t2+2t-3),
=-t2-3t+8,
=-(t+
3
2
2+
41
4
,
∵-3≤-
3
2
≤1,
∴當(dāng)t=-
3
2
時,線段HG的長度有最大值是
41
4
;

(3)∵A(-3,0),C(5,0),
∴AC=5-(-3)=5+3=8,
∵直線l過點F且與y軸平行,
∴直線l的解析式是x=3,
∵點M在l上,點N在拋物線上,
∴設(shè)點M的坐標(biāo)是(3,m),點N的坐標(biāo)是(n,n2+2n-3).
①若線段AC是以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的邊,則須MN∥AC,MN=AC=8,
(i)當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN=3-n,
3-n=8,解得n=-5,
n2+2n-3=(-5)2+2×(-5)-3=25-10-3=12,
所以,N點的坐標(biāo)是(-5,12);
(ii)當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,NM=n-3,
n-3=8,解得n=11,
n2+2n-3=112+2×11-3=121+22-3=140,
所以,N點坐標(biāo)是(11,140);
②若線段AC是以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的對角線,由題意可知,點M與點N關(guān)于點B中心對稱,
∵點M的橫坐標(biāo)為3,點B(1,0),
∴點N的橫坐標(biāo)為-1,
n2+2n-3=(-1)2+2×(-1)-3=1-2-3=-4,
所以,N點坐標(biāo)是(-1,-4),
綜上所述,符合條件的N點坐標(biāo)有(-5,12),(11,140),(-1,-4).
點評:本題是對二次函數(shù)的綜合考查,主要涉及求拋物線與x軸的交點,點的對稱,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的最值問題,平行四邊形的性質(zhì),(3)題的求解比較復(fù)雜,既要考查了AC是平行四邊形的邊,點N在點M的左右兩邊的情況,還要考慮是平行四邊形的對角線,分情況討論求解,計算時要認真仔細.
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=
2
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15
2
15
2

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