Question

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于F，過點(diǎn)A作AG∥CF交DE于點(diǎn)G．

（1）求證：△DCF≌△ADG．

（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，設(shè)∠DCF=α，求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．

分析：

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AD=DC，∠ADC=90°，根據(jù)垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可；

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，

∵CF⊥DE，

∴∠CFD=∠CFG=90°，

∵AG∥CF，

∴∠AGD=∠CFG=90°，

∴∠AGD=∠CFD，

又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，

∠DCF+∠CDE=90°，

∴∠ADG=∠DCF，

∵在△DCF和△ADG中，

，

∴△DCF≌△ADG（AAS）；

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴AE=×2a=a，

在Rt△ADE中，DE===a，

∴sin∠ADG===，

∵∠ADG=∠DCF=α，

∴sinα=．

點(diǎn)評：

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握各圖形的性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．