Question

1．已知x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．
（1）解方程[3x]+x=6.8；
（2）已知x為正數(shù)，且x不為整數(shù)，利用四舍五入的方法把x近似（保留至個位）為x₀，其中x₀為正整數(shù)，請?zhí)骄縳₀與[x+0.5]之間的關(guān)系，并簡述你的理由．
（3）已知O為坐標(biāo)原點，以O(shè)為圓心，r為半徑作圓，且r≤3，且該圓與函數(shù)y=[x+0.5]恰有兩個不同的公共點，請直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由[x]表示不超過x的最大整數(shù)，得出3x-1＜[3x]≤3x從而確定出x的范圍，再由6.8-x為整數(shù)，從而得出x的值；
（2）設(shè)出x的小數(shù)部分，再分兩種情況討論即可；
（3）由y=[x+0.5]的圖象是3段線段，借助圖象，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 解：（1）∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
∴[3x]≤3x，[3x]＞3x-1
∵[3x]+x=6.8，
∴3x+x≥6.8，
∴x≥1.7，
∵[3x]+x=6.8，[3x]＞3x-1
∴3x-1+x＜6.8，
∴x＜1.95，
∴1.7≤x＜1.95
∵[3x]+x=6.8，
∴[3x]=6.8-x，
∵[3x]為整數(shù)，
∴6.8-x為整數(shù)，
∴x=1.8；
（2）設(shè)x的小數(shù)部分為a，
∵x=x₀+a，
∴x+0.5=x₀+a+0.5，
當(dāng)0≤a＜0.5時，0.5≤a+0.5＜1，
∴x₀＜x+0.5＜x₀+1
∴[x+0.5]=x₀，
當(dāng)0.5≤a＜1時，1≤a+0.5＜1.5，
∴x₀≤x+0.5＜x₀+1，
∴[x+0.5]=x₀，
即：[x+0.5]=x₀；
（3）如圖，

①當(dāng)0≤x＜$\frac{1}{2}$時，y=0，
∴0＜r＜$\frac{1}{2}$，
②當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{2}$時，y=1，
令x=$\frac{1}{2}$時，OA=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
令x=$\frac{3}{2}$，時，OB=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}＜r＜\frac{\sqrt{13}}{2}$
③當(dāng)$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{5}{2}$時，y=2
，同②的方法得出$\frac{5}{2}$＜r＜$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∵r≤3，
∴$\frac{5}{2}$＜r≤3．
即：0＜r＜$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}＜r＜\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{5}{2}$＜r≤3．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，以及四舍五入法，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是分類討論．借助圖象是解本題的難點．