Question

已知：如圖，直線y=-x+2與兩坐標軸分別交與點A、B，點P是線段AB上的點，且坐標為（1，m），將一塊三角板繞著點P旋轉，三角板的兩直角邊分別與x軸、y軸相交，交點分別為點D、點E，圖①、圖②、圖③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況，請你研究：
（1）在圖①中，PE⊥y軸，則m=______，PE：PD的值等于______；
（2）當三角板旋轉到圖②或圖③的位置時，請你猜想線段PE和PD之間有什么數量關系？并任選其中一個圖形加以證明；
（3）三角板繞點P旋轉，△PAD是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出點D坐標所有的可能情況；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=-x+2與兩坐標軸分別交與點A、B，點P是線段AB上的點，且坐標為（1，m），把點（1，m）代入直線y=-x+2求出m的值即可；由點P的坐標即可求出PE：PD的值；
（2）先根據圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結論．
（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．
解答：解：（1）∵點（1，m）是直線y=-x+2上，
∴當x=1時，m=1，
∴P（1，1），
∴PE：PD=1，
故答案為：1，1；

（2）∵點A、B分別是直線y=-x+2與兩坐標軸的交點，
∴A（2，0），B（0，2），
∵P（1，1），
∴點P是線段AB的中點，
∴OA=OB，∠C=90°，P為AB中點，連接OP，
∴OP平分∠AOB，OP⊥AB，
∵∠POB=∠PAD=45°，
∴OP=AP，
∵∠EPO+∠OPD=∠OPD+∠DPA=90°，
∴∠EPO=∠DPA，
在△POE和△PDA中，

∴△POE和△PDA（ASA），
∴PE=PD；

（3）能．
①當PD=PA時，此時點O與點D重合，即D（0，0）；
②當PA=AD時，E在線段BC上，CE=2-，即D（2-，0）；E在CB的延長線上，CE=2+，即D（2+，0）；
③當PD=AD時，PD⊥x軸，即D（1，0）．
綜上所述點坐標為：（0，0），（2-，0），（2+，0），（1，0）．
點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到一次函數圖象上點的坐標特點、用待定系數法求一次函數的關系式、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，難度適中．