Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線經過點、、，已知點，，且，點為拋物線上一點（異于）．

（1）求拋物線和直線的表達式．

（2）若點是直線上方拋物線上的點，過點作，與交于點，垂足為．當時，求點的坐標．

（3）若點為軸上一動點，是否存在點，使得由，，，四點組成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點的坐標為；（3）存在，點的坐標為或或

【解析】

（1），則OA=4OC=8，故點A（-8，0）；△AOC∽△COB，則△ABC為直角三角形，則CO2=OAOB，解得：OB=2，故點B（2，0）；即可求解；
（2）PE=EF，即；即可求解；
（3）分BC是邊、BC是對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵，，

∴．

由點的坐標可知，故，，則點，點．

設拋物線的表達式為,

代入點的坐標，得，解得．

故拋物線的表達式為．

設直線的表達式為,

代入點、的坐標，得，解得

故直線的表達式為．

（2）設點的坐標為，則點的坐標分別為，，．

∵，

∴，

解得或（舍去），則，

故當時，點的坐標為．

（3）設點P（m，n），n=，點M（s，0），而點B、C的坐標分別為：（2，0）、（0，4）；
①當BC是邊時，
點B向左平移2個單位向上平移4個單位得到C，
同樣點P（M）向左平移2個單位向上平移4個單位得到M（P），
即m-2=s，n+4=0或m+2=s，n-4=0，
解得：m=-6或±-3，
故點P的坐標為：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）；
②當BC是對角線時，
由中點公式得：2=m+s，n=4，
故點P（-6，4）；
綜上，點P的坐標為：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）．