Question

已知：如圖所示，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線(xiàn)上滑動(dòng)，且滿(mǎn)足條件S_△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C，問(wèn)該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c中，列方程組可求拋物線(xiàn)解析式；
（2）由于AB=3-1=2，而S_△PAB=1，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±1，代入拋物線(xiàn)解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)C作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求得C′（4，-3），連接直線(xiàn)AC′，求直線(xiàn)AC′的解析式，直線(xiàn)AC′與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M．
解答：解：（1）依題意有，
∴b=4，c=-3，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+4x-3；

（2）如圖，設(shè)P（x，y）
∵AB=2，S_△PAB=1
∴×2×|y|=1
∴y=±1
當(dāng)y=1時(shí)，x₁=x₂=2，
當(dāng)y=-1時(shí)，x=2±，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（2+，-1），（2-，-1）；

（3）存在．
過(guò)點(diǎn)C作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，
∵點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
∴C′（4，-3），
設(shè)直線(xiàn)AC′的解析式為y=kx+b，
則，
∴k=-1，b=1，
∴直線(xiàn)AC′的解析式為y=-x+1，
直線(xiàn)AC′與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)為（2，-1），即M（2，-1），
∴存在點(diǎn)M（2，-1），可使△AMC的周長(zhǎng)最�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，根據(jù)面積公式求P點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求三角形的最小周長(zhǎng)．