Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s).

（1）當(dāng)x=__________時(shí)，PQ⊥AC， x=__________時(shí)，PQ⊥AB.

（2）設(shè)△PQD的面積為y(cm²)，當(dāng)0<x<2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式為__________.

（3）當(dāng)0<x<2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；

（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫出過程）.

Answer 1

（1）

解：當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC. 當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA=4  ∴∠C=60°；若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，當(dāng)（Q在AC上）時(shí)，PQ⊥AC，如圖：①當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴  ∴，故時(shí)PQ⊥AB.

（2）

解：如圖②，當(dāng)0<x<2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，

∵∠C=60°，QC=2x，∴QH=QC×sin60°=x ，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∴DP=2-x，∴

（3）當(dāng)0<x<2時(shí)，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°， ∴HC=x，∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH

∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH， ∴OP=OQ ∴  ∴AD平分△PQD的面積

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離. 當(dāng)時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切. 當(dāng)時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交.