Question

已知：如圖，直線(xiàn)l：y=

1

3

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，

1

4

），一組拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），L，B_n（n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是直線(xiàn)l上的點(diǎn)，這組拋物線(xiàn)與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），L，A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數(shù)），設(shè)x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）若d=

1

2

，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線(xiàn)的解析式；
（3）定義：若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線(xiàn)就稱(chēng)為：“美麗拋物線(xiàn)”．
探究：當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時(shí)，這組拋物線(xiàn)中是否存在美麗拋物線(xiàn)？若存在，請(qǐng)你求出相應(yīng)的d的值．
參考公式：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）由M（0，

1

4

）在y=

1

3

x+b上，代入即可求得B的值；
（2）由（1）即可求得：y=

1

3

x+

1

4

，又由B₁（1，y₁）在l上，即可求得B₁（1，

7

12

），設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），由d=

1

2

，求得A₁（

1

2

，0），即可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線(xiàn)的解析式；
（3）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以?huà)佄锞�(xiàn)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，由此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．可得等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2，即可得等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)必小于1，然后分別以x=1，x=2，x=3去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）∵M(jìn)（0，

1

4

）在y=

1

3

x+b上，
∴

1

4

=

1

3

×0+b
∴b=

1

4

．（3分）

（2）由（1）得：y=

1

3

x+

1

4

，（4分）
∵B₁（1，y₁）在l上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

，
∴B₁（1，

7

12

）．（5分）
∴設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），（6分）
又∵d=

1

2

，
∴A₁（

1

2

，0），
∴a=-

7

3

．
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、A₂的拋物線(xiàn)的解析式為：y=-

7

3

（x-1）²+

7

12

．（8分）

（3）存在美麗拋物線(xiàn)．（9分）
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以?huà)佄锞�(xiàn)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．
又∵0＜d＜1，
∴等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2．
∴等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)必小于1．（10分）
∵當(dāng)x=1時(shí)，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

＜1，
當(dāng)x=2時(shí)，y₂=

1

3

×2+

1

4

=

11

12

＜1，
當(dāng)x=3時(shí)，y₃=

1

3

×3+

1

4

=1

1

4

＞1，
∴美麗拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)只有B₁、B₂．（11分）
①若B₁為頂點(diǎn)，由B₁（1，

7

12

），則d=1-

7

12

=

5

12

；（12分）
②若B₂為頂點(diǎn)，由B₂（2，

11

12

），則d=1-[（2-

11

12

）-1]=

11

12

，
綜上所述，d的值為

5

12

或

11

12

時(shí)，存在美麗拋物線(xiàn)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．