Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的頂點(diǎn)A（6，0），B（0，8），AB=2BC，直線y=﹣x+m（m≥13）交坐標(biāo)軸于M，N兩點(diǎn)，將矩形ABCD沿直線y=﹣x+m（m≥13）翻折后得到矩形A′B′C′D′．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和tan∠OMN的值；

（2）如圖2，直線y=﹣x+m過(guò)點(diǎn)C，求證：四邊形BMB′C是菱形；

（3）如圖1，在直線y=﹣x+m（m≥13）平移的過(guò)程中．

①求證：B′C′∥y軸；

②若矩形A′B′C′D′的邊與直線y=﹣x+43有交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2，（2）詳見解析；（3）詳見解析， ≤m≤．

【解析】

（1）首先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后證明△AOB∽△BEC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得BE的長(zhǎng)，則OE長(zhǎng)即可求得，從而求得C的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求得m的值，求得BM的長(zhǎng)，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證得；

（3）①如圖3，連接BB′，同理若延長(zhǎng)B'C'和BC交于點(diǎn)I，則I在MN上，過(guò)C作EQ∥MN，作出CB關(guān)于EQ的對(duì)稱線段CG，則EQ就是（2）中的MN，證明B'C'∥CG即可；

②過(guò)B′作B′F⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)B′F=a，則BF=2a，設(shè)BM=B′M=b，則MF=2a﹣b，在直角△B′FM中利用勾股定理求得a和b的比值，MF和B′F即可利用m表示出來(lái)，A′和C′坐標(biāo)即可求得，代入直線y=﹣x+43求得m的值，從而確定m的范圍．

（1）∵A（6，0），B（0，8），

∴OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∴BC=AB=5，

如圖1，過(guò)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，

∴∠BOA=∠CEB=90°，

又∵∠BAO+∠ABO=∠EBC+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠EBC，

∴△AOB∽△BEC，

∴=2，

∴BE=3，CE=4，

∴OE=BE﹣OB=11，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，11），

當(dāng)x=0時(shí)，OM=m，當(dāng)y=0時(shí)，ON=2m，

∴tan∠OMN=2；

（2）如圖2，由題意得：BM=B'M，BC=B′C．

∵直線y=﹣x+m過(guò)點(diǎn)C（4，11），

∴11=﹣2+m，

解得：m=13，

∴BM=13﹣8=5，

∴B'M=BM=BC=B'C=5，

∴四邊形BMB′C是菱形；

（3）①如圖3，連接BB′，同理若延長(zhǎng)B'C'和BC交于點(diǎn)I，則I在MN上，

過(guò)C作EQ∥MN，作出CB關(guān)于EQ的對(duì)稱線段CG，

則EQ就是（2）中的MN，

根據(jù)（2）可得CG∥BM，且∠BCE=∠MCG，

∵MN∥EQ，

∴∠BCE=∠CIM，

又∵∠CIM=∠MIB'，

∴∠BCG=∠CIB'，

∴B'C'∥BM，

即B′C′∥y軸．

②如圖3，過(guò)B′作B′F⊥y軸于點(diǎn)F，

∵BB′⊥MN，

∴tan∠MBB′=，

∴BF=2B′F，

設(shè)B′F=a，則BF=2a，設(shè)BM=B′M=b，則MF=2a﹣b，

在直角△B′FM中，a2+（2a﹣b）2=b2，

解得：a：b=4：5，

∴MF：B′F：B′M=3：4：5，

∵B′M=BM=m﹣8，

∴MF=（m﹣8），B′F=（m﹣8），

則OF=OB+BF=8+2a=8+2B'F=8+2×（m-8）=，

A'F=B’F+A'B'=（m﹣8）+10=，

∴A′坐標(biāo)是（，），

C'的縱坐標(biāo)是OF﹣B'C'=﹣5=，

則C′的坐標(biāo)是：（，），

當(dāng)點(diǎn)A′在直線y=﹣x+43上時(shí)，m=，

當(dāng)點(diǎn)C′在直線y=﹣x+43上時(shí)，m=，

∴則m的取值范圍是≤m≤．