Question

（2013•柳州二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），那么點(diǎn)A₂₀₁₃的縱坐標(biāo)是

(

3

2

)2012

．

Answer 1

分析：利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點(diǎn)的縱坐標(biāo)的規(guī)律．

解答：解：∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）在直線y=kx+b上，
∴

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，
解得

k= 1 5 b= 4 5

，
∴直線解析式為y=

1

5

x+

4

5

，
如圖，設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為N、M，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

4

5

，
當(dāng)y=0時(shí)，

1

5

x+

4

5

=0，解得x=-4，
∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M（0，

4

5

），N（-4，0），
∴tan∠MNO=

MO

NO

=

4 5

4

=

1

5

，
作A₁C₁⊥x軸與點(diǎn)C₁，A₂C₂⊥x軸與點(diǎn)C₂，A₃C₃⊥x軸與點(diǎn)C₃，
∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×

3

2

=2+3=5，
tan∠MNO=

A3C3

NC3

=

A3C3

4+5+B2C3

=

1

5

，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=

9

4

=（

3

2

）²，
同理可求，第四個(gè)等腰直角三角形A₄C₄=

27

8

=（

3

2

）³，
依此類(lèi)推，點(diǎn)A_n的縱坐標(biāo)是（

3

2

）^n-1．
∴點(diǎn)A₂₀₁₃的縱坐標(biāo)是（

3

2

）²⁰¹²．
故答案為：（

3

2

）²⁰¹²．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形斜邊上的高線就是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及正切的定義，規(guī)律性較強(qiáng)，注意指數(shù)與點(diǎn)的腳碼相差1．