Question

如圖（1），拋物線y=-12與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，四邊形OACD是菱形．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），設(shè)垂直于x軸的動直線x=n與拋物線交于點(diǎn)M，與邊CD交于點(diǎn)N記四邊形AMCN的面積為s，試證明s是n的函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，交OC于E點(diǎn)，令y=-12=0，求出B坐標(biāo)為（3，0）和C點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，AD⊥OC，AE=ED，可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-y），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，y），點(diǎn)A又在拋物線上，A點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出y的值，進(jìn)而D點(diǎn)坐標(biāo)求出．
（2）設(shè)直線CD的直線方程為y=kx+b，待定系數(shù)法求出k和b的值，求出直線解析式，進(jìn)而求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立x=n和拋物線的函數(shù)解析式，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段MN的長，即可求出四邊形AMCN的面積為s的表達(dá)式：s=S_△AMN+S_△CMN，證明s是n的函數(shù)．
解答：解：（1）連接AD，交OC于E點(diǎn)，
∵拋物線y=-12與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），
∴令y=-12=0，
即x²-11x+24=0，
解得x₁=3，x₂=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），
∵OACD是菱形，
∴AD⊥OC，AE=ED，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-y），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，y），
∵A點(diǎn)在拋物線y=-12上，
∴y=-×16+22-12=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）；

（2）設(shè)直線CD的直線方程為y=kx+b，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），
則，解得k=，b=-4，
∴直線CD的解析式為y=x-4，
當(dāng)x=n時(shí)，y=n-4，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n-4），
直線M在拋物線y=-12上，M的橫坐標(biāo)為x=n，
∴y=-n²+n-12，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-n²+n-12），
線段MN的長度為-n²+n-12-n+4=-n²+5n-8，
四邊形AMCN的面積s=S_△AMN+S_△CMN=×（-n²+5n-8）×（n-4）+×（-n²+5n-8）×（8-n）=-n²+10n-16，
∴s是n的函數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)綜合題的知識點(diǎn)，本題涉及了菱形的性質(zhì)、直線解析式得求法，特別是（2）問需要把四邊形拆開成兩個(gè)三角形進(jìn)行面積計(jì)算，此題難度較大．