【答案】
分析:(1)已知角度,要分割成兩個(gè)等腰三角形,可以運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,先計(jì)算出可能的角度,或者先從草圖中確認(rèn)可能的情況,及角度,然后畫上.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形列方程,可得出角與角之間的關(guān)系.
解答:解:(1)如圖(共有2種不同的分割法).
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(2)設(shè)∠ABC=y,∠C=x,過點(diǎn)B的直線交邊AC于D.在△DBC中,
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①若∠C是頂角,如圖1,則∠ADB<90°,∠CBD=∠CDB=
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(180°-x)=90°-
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x,∠A=180°-x-y.
此時(shí)只能有∠A=∠ABD,即180°-x-y=y-(90°-
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x),
∴3x+4y=540°,即∠ABC=135°-
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∠C.
②若∠C是底角,
第一種情況:如圖2,當(dāng)DB=DC時(shí),則∠DBC=x,△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.
由AB=AD,得2x=y-x,此時(shí)有y=3x,即∠ABC=3∠C.
由AB=BD,得180°-x-y=2x,此時(shí)3x+y=180°,即∠ABC=180°-3∠C.
由AD=BD,得180°-x-y=y-x,此時(shí)y=90°,即∠ABC=90°,∠C為小于45°的任意銳角.
第二種情況,如圖3,當(dāng)BD=BC時(shí),∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此時(shí)只能有AD=BD,
從而∠A=∠ABD=
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∠C<∠C,這與題設(shè)∠C是最小角矛盾.
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∴當(dāng)∠C是底角時(shí),BD=BC不成立.
綜上,∠ABC與∠C之間的關(guān)系是:∠ABC=135°-
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∠C.
或∠ABC=3∠C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的性質(zhì);第(1)問是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索.本問對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力,以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力都有較高的要求.
第(2)問在第(1)問的基礎(chǔ)上,由“特殊”到“一般”,“分類討論”把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形并結(jié)合“方程思想”探究角與角之間的關(guān)系.本題不僅趣味性強(qiáng),創(chuàng)造性強(qiáng),而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”、“方程思想”、“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學(xué)思想,是一道不可多得的好題.