Question

如圖所示，二次函數 y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點A和點B（A、B分別位于原點O的兩側），與y軸的下半軸交于點C，且tan∠OAC=2，AB=CB=5．
（1）求直線BC和二次函數的解析式；
（2）直線BC上是否存在這樣的點P，使△PAB和△OBC相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設OB=k，則B（k，0），由tan∠OAC=2，AB=5得出A（k-5，0），C（0，2k-10），在△BOC中，利用勾股定理得出BC²=OC²+OB²，由此列出關于k的方程，解方程求出k的值，得到A（-2，0），B（3，0），C（0，-4），再利用待定系數法即可求出直線BC和二次函數的解析式；
（2）由于△OBC是直角三角形，由于點P在CB的延長線時∠PBA＞90°，點P在射線BC上時，∠PBA＜90°，所以當△PAB和△OBC相似時，P點只可能在射線BC上，分兩種情況進行討論：①PA⊥AB，由△COB∽△PAB，列出比例式，求出AP=

20

3

，進而得出點P的坐標；②當AP⊥PB時，由△COB∽△APB，列出比例式，求出PB=3．再過點P₂作P₂D⊥AB于D，由射影定理得出P₂B²=BD×BA，求出BD的值，進而得出點P的坐標．

解答：解：（1）設OB=k，則A（k-5，0），B（k，0），C（0，2k-10）．
在△BOC中，∵∠BOC=90°，
∴BC²=OC²+OB²，即25=（2k-10）²+k²，
解得k₁=3，k₂=5（舍去），
∴A（-2，0），B（3，0），C（0，-4）．
設直線BC的解析式為y=kx+m，
則

3k+m=0 m=-4

，
解得

k= 4 3 m=-4

，
∴直線BC的解析式為：y=

4

3

x-4；
設二次函數的解析式為y=a（x+2）（x-3），
把C（0，-4）代入，得-4=-6a，
解得a=

2

3

，
∴y=

2

3

（x+2）（x-3），即y=

2

3

x²-

2

3

x-4；

（2）直線BC上存在這樣的點P，使△PAB和△OBC相似．理由如下：
P只可能在射線BC上，分兩種情況：
設點P的坐標為（x，

4

3

x-4）．
①當PA⊥AB時，OC∥AP，△COB∽△PAB，
∴

OC

AP

=

OB

AB

，即

4

AP

=

3

5

，
解得AP=

20

3

，
∴-（

4

3

x-4）=

20

3

，
解得x=-2，
∴P₁（-2，-

20

3

）；
②當AP⊥PB時，△COB∽△APB，
∴

OB

PB

=

BC

AB

，即

3

PB

=

5

5

，
解得PB=3．
過點P₂作P₂D⊥AB于D，則P₂B²=BD×BA，
解得BD=

9

5

，
∴OD=3-

9

5

=

6

5

，即x=

6

5

，
∴

4

3

x-4=

4

3

×

6

5

-4=-

12

5

，
∴P₂（

6

5

，-

12

5

）．
綜上可知，滿足條件的點P的坐標為P₁（-2，-

20

3

），P₂（

6

5

，-

12

5

）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理，相似三角形的判定與性質，難度適中．利用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．