Question

已知如圖，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=-（x＜0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A點(diǎn)B分別在X軸，Y軸上，且OA=OB=2，PM⊥X軸于M，交AB于點(diǎn)E，PN⊥Y軸于點(diǎn)N，交AB于F；
（1）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，連OE，OF，求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△EOF的面積；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù) y=-（x＜0）的圖象上移動(dòng)，它的坐標(biāo)設(shè)為P（a，b） （-2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|(zhì)b|），其他條件不變，探索：以AE、EF、BF為邊的三角形是怎樣的三角形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由條件知A（-2，0），B（0，2），易求得直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+2
又∵點(diǎn)P在函數(shù)y=-上，且縱坐標(biāo)為，
∴P（-，）
把x=-代入y=x+2中得y=，
∴E（-，）
把y=代入y=x+2中得x=-
∴F（-，）
S_△E0F=S_△AOF-S_△AOE=×|-2|×-×|-2|×=；

（2）以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形．
理由如下：
由條件知△AOB是等腰直角三角形，則△AME，△EPF，△FNB均為等腰直角三角形，又-2＜a＜0，0＜b＜2
AM=2-（-a）=2+a
∴AE²=（AM）²=2a²+8a+8
BN=2-b
∴BF²=（BN）²=2b²-8b+8
PE=PM-EN=PM-AM=b-（2+a）=b-a-2 而ab=-2
∴EF²=（PE）²=2a²+2b²+8a-8b+16
又|a|≠|(zhì)b|
∴AE≠BF
而（2a²+8a+8）+（2b²-8b+8）=2a²+2b²+8a-8b+16
∴AE²+BF²=EF²
故以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形．
分析：（1）分別求得點(diǎn)P、點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后即可求得三角形EOF的面積；
（2）由條件知△AOB是等腰直角三角形，則△AME，△EPF，△FNB均為等腰直角三角形，然后表示出AE²、BF²、EF²=（PE）²得到AE²+BF²=EF²，利用勾股定理即可判定直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn)求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．