Question

1．已知：直線AB與CD相交于點(diǎn)O．
（Ⅰ）如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=135°．
（Ⅱ）如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大��；
（Ⅲ）如圖3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC=45°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可；
（2）設(shè)∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根據(jù)角平分線的定義表示出∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON，再根據(jù)∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；
（3）與（2）的解法相同．

解答 解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度數(shù)為135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴設(shè)∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°，
∵∠BOM=$\frac{3}{2}$x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°，
即∠MON的度數(shù)為54°；
（3）∵∠BOC=4∠NOB
∴設(shè)∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°，
∵∠BOM=$\frac{3}{2}$x+x=180°-α，
∴x=$\frac{360°-2α}{5}$，
∴∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，（2）（3）難點(diǎn)在于根據(jù)∠BOM列出方程．