Question

如圖，△ABC中，∠C=30°，AC=4，BC=，D為BC的中點，以AC為直徑作⊙O．
（1）試判斷點D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點D作DE⊥AB于E，求證：DE與⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求D與⊙O的位置關(guān)系，需先求OD的長，再與其半徑相比較；若大于半徑則在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑則在圓內(nèi)；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
解答：解：（1）點D在⊙O上．
理由如下：
過O作OF⊥CD于F，連接OD．
在Rt△OCF 中，OC=AC=2，∠C=30°，
∴OF=OC=1，CF=
∵CD=BC=2，∴DF=CD-CF=，
在Rt△ODF中，
∴OD=OC，∴點D在⊙O上．

（2）證明：∵D為BC中點，O為AC中點，∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴⊙O與DE相切．
點評：此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系及切線的判定．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．