如圖,已知⊙O的半徑為6 cm,射線PM經過點O,OP=10 cm,射線PN與⊙O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā),點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動,點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時間為t s.當t=_______時,直線AB與⊙O相切.

0.5s或3.5s.

【解析】

試題分析:首先根據(jù)PN與⊙O相切于點Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PQ的值;再過點O作OC⊥AB,垂足為C.直線AB與⊙O相切,則△PAB∽△POQ,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等,就可以求出t的值.

試題解析:連接OQ,

∵PN與⊙O相切于點Q,

∴OQ⊥PN,

即∠OQP=90°,

∵OP=10,OQ=6,

∴PQ=8(cm),

過點O作OC⊥AB,垂足為C,

∵點A的運動速度為5cm/s,點B的運動速度為4cm/s,運動時間為ts,

∴PA=5t,PB=4t,

∵PO=10,PQ=8,

∵∠P=∠P,

∴△PAB∽△POQ,

∴∠PBA=∠PQO=90°,

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,

∴四邊形OCBQ為矩形.

∴BQ=OC.

∵⊙O的半徑為6,

∴BQ=OC=6時,直線AB與⊙O相切.

①當AB運動到如圖1所示的位置,

BQ=PQ-PB=8-4t,

∵BQ=6,

∴8-4t=6,

∴t=0.5(s).

②當AB運動到如圖2所示的位置,

BQ=PB-PQ=4t-8,

∵BQ=6,

∴4t-8=6,

∴t=3.5(s).

∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切.

考點:切線的性質.

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