Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2），求證：△BCE≌△CAM．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．

【分析】（1）先證出∠ACE=∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對應邊相等即可；

（2）先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM．

【解答】解：（1）∵點D是AB的中點，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．

∴∠CAE=∠BCG．

又BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB．

∴AE=CG．

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．

又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中

∴∠BCE≌△CAM（AAS）．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．