Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠BAC交BC于點P，∠BDC=60°，若AB=4，則BD的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4求出BC及AC的長度，再根據AD平分∠BAC交BC于點P可得出∠PAC及∠APC的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值可求出PC的長度，進而得出BP的長度，再根據相似三角形的判定定理得出△PBD∽△DBC，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4，
∴∠BAC=60°，BC=AB•sin60°=4×=6，AC=AB•cos60°=4×=2，
∵AD平分∠BAC交BC于點P，
∴∠PAC=30°，
∴PC=AC•tan30°=2×=2，
∴BP=BC-PC=6-2=4，
在Rt△APC中，
∵∠PAC=30°，
∴∠APC=60°，
在△PBD與△DBC中，
∵∠BPD=∠BDC=60°，∠DBP=∠DBP，
∴△PBD∽△DBC，
∴=，即=，
解得BD=2．
故答案為：2．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，能根據題意判斷出△PBD∽△DBC是解答此題的關鍵．