【答案】
分析:(1)由于x=-4和x=2時,拋物線的函數(shù)相等,那么它的對稱軸為x=-1,可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式,從而得到a、b、c的值;
(2)連接AC,根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),易求得AC、BC、AB的長,從而證得△ACB是直角三角形,且∠ABC=60°,根據(jù)折疊的性質(zhì)知BM=BN=MP=PN,故四邊形PMBN是菱形,此時PN∥AB,可得△CPN∽△CAB,利用所得比例線段,即可求得t值以及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)由(2)求得∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形也必為直角三角形,可分三種情況考慮:
①顯然BN中點(diǎn)的距離要大于1,由(2)求得的t值可得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230612529247797/SYS201310212306125292477023_DA/0.png)
BN的長要小于1,因此以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸沒有交點(diǎn),因此Q不可能為直角頂點(diǎn);
②若∠BNQ=90°,則有兩種情況:
1)∠NBQ=60°,此時Q為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn),由于N不是線段BC的中點(diǎn),故NQ與AC不平行,圖此時∠BNQ不可能是90°;
2)∠NBQ=30°,此時Q點(diǎn)與點(diǎn)P重合,顯然此時∠BNQ不等于90°;
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q,此時∠MBQ=∠MQB=30°,可得QM=BM=PM,即x軸垂直平分PQ,此時P、Q關(guān)于x軸對稱,由此可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意知:拋物線的對稱軸為x=-1,則B(1,0)
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+3)(x-1),
則有:a(0+3)(0-1)=
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,a=-
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∴y=-
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(x+3)(x-1)=-
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x
2-
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x+
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故a=-
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,b=-
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,c=
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;
(2)∵A(-3,0),B(1,0),C(0,
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),
∴OA=3,OB=1,OC=
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,AB=4,AC=2
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,BC=2
故△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∠ABC=60°
由題意知:BM=BN=MP=PN=t,
所以四邊形PNBM是菱形,
∴PN∥AB,
則有:
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,即
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,
解得t=
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.
過P作PE⊥AB于E,
在Rt△PME中,∠PME=60°,PM=t=
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,
故PE=
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,ME=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230612529247797/SYS201310212306125292477023_DA/18.png)
∵OM=BM-OB=t-1=
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,
∴OE=OM+EM=1,
即P(-1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230612529247797/SYS201310212306125292477023_DA/20.png)
);
(3)由(1)知:拋物線的對稱軸為x=-1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230612529247797/SYS201310212306125292477023_DA/images21.png)
所以點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上;
由(2)知,∠ACB=90°,若以B,N,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則△BNQ必為直角三角形;
①若∠BQN=90°;
由于BN=BM=t=
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,則
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BN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230612529247797/SYS201310212306125292477023_DA/23.png)
;
而BN中點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離大于1,
故以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸無交點(diǎn),
所以∠BQN≠90°,此種情況不成立.
②若∠BNQ=90°;
當(dāng)∠NBQ=60°時,Q、E重合,此時∠BNQ≠90°,
當(dāng)∠NBQ=30°時,Q、P重合,此時∠BNQ≠90°,
故此種情況也不成立.
③若∠NBQ=90°,延長NM交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q,
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°,EM⊥PQ,
∴P、Q關(guān)于x軸對稱,故Q(-1,-
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);
綜上所述,存在符合條件的Q點(diǎn),且坐標(biāo)為Q(-1,-
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).
點(diǎn)評:此題考查了拋物線的性質(zhì)、函數(shù)解析式的確定,直角三角形、菱形的判定和性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理等重要知識,綜合性強(qiáng),難度較大.