Question

【題目】如圖，在梯形中，，交邊于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)與恰好重合時(shí)（如圖1），求的長(zhǎng)；

（2）問(wèn)：是否可能使、與都相似？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（如圖2）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）AD =2.

【解析】

（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，證得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AD的長(zhǎng)；

（2）分別從使△ABE、△CDE與△BCE都相似分析，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求得AD的長(zhǎng)．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，∵CD∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC=2，

∴AD=．

（2）若能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，

∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB，

∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180，

∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°.

在Rt△DEC中，tan∠DEC=，

∴DE=.

在Rt△ABE中，tan∠AEB=，

∴EA=，

∴AD=DE+AE=2.