Question

【題目】如圖，直線y=2x+m（m＞0）與x軸交于點A（﹣2，0），直線y=﹣x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B，C兩點，并與直線y=2x+m（m＞0）相交于點D，若AB=4．

（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）求出四邊形AOCD的面積；
（3）若E為x軸上一點，且△ACE為等腰三角形，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣2，0）代入y=2x+m得﹣4+m=0，解得m=4，

∴y=﹣2x+4，

∵AB=4，A（﹣2，0），

∴B點坐標(biāo)為（2，0），

把B（2，0）代入y=﹣x+n得﹣2+n=0，解得n=2，

∴y=﹣x+2，

解方程組 得 ，

∴D點坐標(biāo)為（﹣ ， ）

（2）解：當(dāng)x=0時，y=﹣x+2=2，

∴C點坐標(biāo)為（0，2），

∴四邊形AOCD的面積=S△DAB﹣S△COB

= ×4× ﹣ ×2×2

=

（3）解：∵A（﹣2，0），C（0，2），

∴AC=2 ，

當(dāng)AE=AC=2 時，E1點的坐標(biāo)為（2 ﹣2，0），E2點的坐標(biāo)為（﹣2 ﹣2，0）；

當(dāng)CE=CA時，E3點的坐標(biāo)為（2，0），

當(dāng)EA=EC時，E4點的坐標(biāo)為（0，0），

綜上所述，點E的坐標(biāo)為（2 ﹣2，0）、（﹣2 ﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y=2x+m得到m=4，則y=﹣2x+4，再利用AB=4可得到B點坐標(biāo)為（2，0），則把B點坐標(biāo)代入y=﹣x+n可得到n=2，則y=﹣x+2，然后根據(jù)兩直線相交的問題，通過解方程組 得到D點坐標(biāo)；（2）先確定C點坐標(biāo)為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積=S△DAB﹣S△COB進(jìn)行計算即可；（3）先利用A、C兩點的坐標(biāo)特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC=2 ，然后分類討論：當(dāng)AE=AC=2 時，以A點為圓心，2 畫弧交x軸于E1點和E2點，再寫出它們的坐標(biāo)；當(dāng)CE=CA時，E3點與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到它的坐標(biāo)；當(dāng)EA=EC時，E4點為坐標(biāo)原點．