Question

我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．

如下圖，A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓的半徑為2．

(1)請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)試一試你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的函數(shù)關(guān)系式嗎？

(3)開動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：(1)由圓心M的坐標(biāo)和圓的半徑可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，把A、B、D三點(diǎn)代入“蛋圓”拋物線部分的關(guān)系式中，通過解方程組即可求得拋物線對(duì)應(yīng)的關(guān)系式；(2)在Rt△COM中，利用勾股定理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用銳角三角函數(shù)求出∠CMO的度數(shù)．在Rt△MCE中，利用銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)E的坐標(biāo)．最后利用待定系數(shù)法可求出切線CE的函數(shù)關(guān)系式；(3)通過點(diǎn)D的坐標(biāo)設(shè)出過點(diǎn)D的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)切線的定義把直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題進(jìn)行求解． 　　解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 　　因?yàn)辄c(diǎn)M為(1，0)，半圓的半徑為2，所以點(diǎn)B為(3，0)、點(diǎn)A為(－1，0)．把A(－1，0)、B(3，0)、D(0，－3)三點(diǎn)代入拋物線， 　　 　　所以“蛋圓”拋物線部分的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2－2x－3，自變量x的取值范圍是－1≤x≤3． 　　(2)設(shè)經(jīng)過“蛋圓”上點(diǎn)C的切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM，則MC⊥CE． 　　在Rt△MOC中，因?yàn)?/FONT>OM＝1，CM＝2，由勾股定理，得OC＝，所以點(diǎn)C(0，)． 　　又因?yàn)?/FONT>cos∠CMO＝＝，所以∠CMO＝60°． 　　在Rt△MCE中，ME＝＝4，所以OE＝3． 　　所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－3，0)． 　　設(shè)切線CE的關(guān)系式為y＝mx＋n(m≠0)， 　　 　　所以切線CE的函數(shù)關(guān)系式為y＝x＋． 　　(3)設(shè)經(jīng)過“蛋圓”上點(diǎn)D(0，－3)的切線的函數(shù)關(guān)系式為 　　y＝kx－3(k≠0)． 　　由“蛋圓”切線的定義知，方程組只有一組解，即一元二次方程kx－3＝x2－2x－3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 　　將方程kx－3＝x2－2x－3變形為x2－(k＋2)x＝0， 　　所以Δ＝[－(k＋2)]2＝0．解得k＝－2． 　　所以經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－2x－3． 　　點(diǎn)評(píng)：注意教材中各知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)是解答綜合性題的關(guān)鍵．

提示：

本題先給出“蛋圓”和“蛋圓”切線的定義，考查了學(xué)生閱讀理解的能力；然后把求拋物線的函數(shù)關(guān)系式、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓中切線的性質(zhì)等幾個(gè)重點(diǎn)知識(shí)融為一體，考查了學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握情況；最后把直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題，進(jìn)一步考查了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．這就要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中，既要注重重點(diǎn)知識(shí)的落實(shí)，還應(yīng)注意重點(diǎn)知識(shí)的延伸．