Question

16．將等腰直角△ABC斜放在平面直角坐標系中，使直角頂點C與點（1，0）重合，點A的坐標為（-2，1）．
（1）求△ABC的面積S；
（2）求直線AB與y軸的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）過點A作AD⊥x軸，垂足為D，根據(jù)A、C兩點的坐標可求出AD和DC，根據(jù)勾股定理可求出AC²，即可求出等腰直角△ABC的面積；
（2）要求直線AB與y軸的交點坐標，只需求出直線AB的解析式，只需求出點B的坐標，過點B作BE⊥x軸，垂足為E，易證△ADC≌△CEB，即可得到BE和CE，
從而得到點B的坐標，問題得以解決．

解答 解：（1）過點A作AD⊥x軸，垂足為D．
∵C（1，0），A（-2，1），
∴AD=1，DC=1-（-2）=3，
∴AC²=AD²+DC²=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC²=5；

（2）過點B作BE⊥x軸，垂足為E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE=3，CE=AD=1，
∴OE=2，
∴點B的坐標為（2，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+2．
當(dāng)x=0時，y=2，
∴直線AB交y軸于點（0，2）．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式、直線上點的坐標特征、等腰直角三角形面積公式等知識，構(gòu)造K型全等是解決第（2）小題的關(guān)鍵．