【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)

(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(1)中的拋物線交y軸于C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出點Q的坐標;若不存在說明理由;

【答案】
(1)解:拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)(x+3),即y=﹣x2﹣2x+3;


(2)解:存在.

當x=0時,y=﹣x2﹣2x+3=3,則C(0,3),

拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,

連接BC交直線x=﹣1于Q,如圖,

∵點A與點B關于直線x=﹣1對稱,

∴QA=QB,

∴QA+QC=QB+QC=BC,

∴此時QA+QC的值最小,

∴此時△QAC的周長最小,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(﹣3,0),C(0,3)代入得 ,解得 ,

∴直線BC的解析式為y=x+3,

當x=﹣1時,y=x+3=2,

∴滿足條件的Q點的坐標為(﹣1,2);

;(3)(1)中拋物線在第二象限的圖象是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由.

解:存在.

過PD∥y軸交BC于P,如圖,

設P(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0),則D(x,x+3),

∴PD=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x,

∴S△PBC=S△PBD+S△PCD= 3PD=﹣ x2 x=﹣ (x+ 2+ ,

當x=﹣ 時,S△PBC值最大,最大值為 ,

此時P點坐標為(﹣ , ).


【解析】(1)利用交點式可直接得到拋物線的解析式;(2)先確定C(0,3),拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,連接BC交直線x=﹣1于Q,如圖,利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題得到此時QA+QC的值最小,從而確定此時△QAC的周長最小,再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+3,然后計算自變量為﹣1時的一次函數(shù)值即可得到滿足條件的Q點的坐標;(3)過PD∥y軸交BC于P,如圖,設P(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0),則D(x,x+3),則PD可表示為﹣x2﹣3x,利用三角形面積公式得到S△PBC=﹣ x2 x,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

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