Question

如圖①，P是線段AB上一點，△APC與△BPD是等邊三角形（三邊相等，三個角都為60°的三角形）．
（1）請你判斷：AD與BC相等嗎？并說明理由；
（2）如圖②，若△BPD繞P點旋轉一定角度，（1）中的結論還成立嗎？

Answer 1

解：（1）AD=BC，理由：
∵△APC和△BPD都是等邊三角形，
∴∠APC=∠DPB=∠CPD=60°，
∴∠APC+∠CPD=∠DPB+∠CPD，
在△APD和△CPB中，，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC（全等三角形對應邊相等）；

（2）條件改變，結論仍然成立．
∵△APC和△BPD都是等邊三角形，
∴∠APC=∠DPB=∠CPD=60°，
∴∠APC+∠CPD=∠DPB+∠CPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APC和△BPD中，，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC（全等三角形對應邊相等）．
分析：（1）根據等邊三角形的性質利用SAS即可判定△APD和△CPB，根據全等三角形的對應邊相等即可證得AD=BC．
（2）結論仍然成立，用類例（1）的方法證△APD和△CPB，再根據全等三角形的性質即可得到結論．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定及性質和等邊三角形的性質的綜合運用能力．得到∠APD=∠CPB是正確解答本題的關鍵．