Question

如圖，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD．
（1）取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．
（2）若AD=3，BD=4，求邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．欲證ED與⊙O相切，只需證明OD⊥DE；
（2）通過(guò)相似三角形△BDC∽△ADB的對(duì)應(yīng)邊成比例知=，由此可以求得線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度．
解答：（1）證明：連接OD．
∵OD=OB（⊙O的半徑），
∴∠OBD=∠BDO（等邊對(duì)等角）；
∵AB是直徑（已知），
∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等邊對(duì)等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代換）；
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切；

（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴=．即=，
∴BC=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)．圓心到一條直線(xiàn)的距離等于該圓的半徑，則該直線(xiàn)就是圓的一條切線(xiàn)．