Question

【題目】已知∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝4．點(diǎn)P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，△APC與△APC′關(guān)于直線AP對(duì)稱，其中點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′．直線m過(guò)點(diǎn)A且平行于CB

（1）如圖①：連接AB，當(dāng)點(diǎn)C落在線段AB上時(shí)，求BC′的長(zhǎng)；

（2）如圖②：當(dāng)PC＝BC時(shí)，延長(zhǎng)PC′交直線m于點(diǎn)D，求△ADC′面積；

（3）在（2）的條件下，連接BC′，直接寫出線段BC′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理知AB＝2，再由軸對(duì)稱性質(zhì)知AC＝AC′＝2，據(jù)此可得答案；

（2）先軸對(duì)稱性質(zhì)知AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，作C′M⊥直線m，延長(zhǎng)MC′交BC于點(diǎn)N可得四邊形ACNM是矩形，設(shè)C′N＝x，則MC′＝2﹣x，證△AMC′∽△C′NP得，據(jù)此可得AM＝2x，PN＝，根據(jù)AM＝CN＝CP+PN可得x＝，從而得出C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，再證△DMC′∽△PNC′得，據(jù)此求得DM＝，最后利用三角形面積公式求解可得答案；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，據(jù)此求得BN＝PB﹣PN＝，利用勾股定理可得答案．

（1）∵AC＝2，BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵△APC與△APC′關(guān)于直線AP對(duì)稱，

∴AC＝AC′＝2，

則BC′＝AB﹣AC′＝2﹣2；

（2）∵PC＝BC，BC＝4，

∴PC＝1，BP＝3，

∵△APC與△APC′關(guān)于直線AP對(duì)稱，

∴AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，

如圖，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥直線m，延長(zhǎng)MC′交BC于點(diǎn)N，

∵AD∥BC，

∴MN⊥BC，

則∠AMC′＝∠C′NP＝90°，

∴四邊形ACNM是矩形，

∴AC＝MN＝2，AM＝CN，

又∠AC′P＝90°，

∴△AMC′∽△C′NP，

∴，

設(shè)C′N＝x，則MC′＝2﹣x，

∴，

解得AM＝2x，PN＝，

由AM＝CN＝CP+PN可得2x＝1+，解得x＝，

則C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，

∵AD∥BC，

∴△DMC′∽△PNC′，

∴，即，

解得：DM＝，

∴AD＝AM+DM＝，

∴△ADC′面積為；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，

∴BN＝PB﹣PN＝，

在Rt△BC′N中，BC′＝．