Question

如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高線和角平分線．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．

Answer 1

解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=40°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠EAC=∠BAC=50°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°；

（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠EAC=∠BAC=（180°-α-β）=90°-α-β，
∴當(dāng)α＜β時，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°-α-β）-（90°-β）=β-α，
當(dāng)α＞β時，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-α-β）=α-β．
分析：（1）首先根據(jù)三角形高的性質(zhì)，求得∠DAC的度數(shù)，又由AE是三角形的角平分線，求得∠EAC=∠BAC，由三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求得∠EAC的度數(shù)，則問題得解；
（2）解題方法與（1）一樣，注意分析∠B與∠C的大小，存在兩個答案．
點評：此題考查了三角形的內(nèi)角和定理與三角形角平分線、高線的性質(zhì)．題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．