Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求證：點F是AD的中點；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2。

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE。∴ED=EA。

∵ED為⊙O直徑，∴∠DFE=90°。

∴EF⊥AD。∴點F是AD的中點。

（2）連接DM，

∵EF：FD=4：3，∴設(shè)EF=4k，F(xiàn)D=3k。

∴在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理理，得ED=5k。

∴AE= ED=5k，AD=2 FD=6k。

∵AD•EF=AE•DM，∴。

在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理理，得，

∴。

（3）∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，∴△AEC∽△BEA。

∴AE：BE=CE：AE，即AE²=CE•BE。∴由（2）設(shè)定得，（5k）²=k•（10+5k）。

∵k＞0，∴k=2。

∴CD=k=5。

【解析】

試題分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可判定點F是AD的中點。

（2）連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案。

（3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）²=k•（10+5k），解此方程即可求得答案。