Question

已知拋物線y=

1

6

x2+bx+c經過點A（5，0），且滿足bc=0，b＜c．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M在直線y=2x上，點P在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，求當以O、A、P、M為頂點的四邊形為平行四邊形時的P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件進行討論b、c的情況分別結合A（5，0）代入解析式，即可確定拋物線的解析式；
（2）本題也要進行分類分析：一種情況為OA為邊時，根據平行線的性質，結合各已知點的坐標和拋物線的性質求p點的坐標，另一種情況為OA對角線時，根據平行線的性質，結合各已知點的坐標和拋物線的性質求p點的坐標．

解答：解：（1）把A（5，0）代入y=

1

6

x2+bx+c，得

25

6

+5b+c=0．①
∵bc=0，
∴b=0或c=0．
當b=0時，代入①中，得c=-

25

6

＜b，舍去．
當c=0時，代入①中，得b=-

5

6

，符合題意．
∴該拋物線的解析式為y=

1

6

x2-

5

6

x．

（2）①若OA為邊，則PM∥OA．
設M（m，2m），
∵OA=5，
∴P（m+5，2m）或P（m-5，2m）．
當P（m+5，2m）時，
∵P點在拋物線上，
∴

1

6

(m+5)2-

5

6

(m+5)=2m，
解得m₁=0（舍），m₂=7．
∴P（12，14）．
當P（m-5，2m）時，
∵P點在拋物線上，
∴

1

6

(m-5)2-

5

6

(m-5)=2m，
解得m₃=2，m₄=25．
∴P（-3，4）或P（20，50）．
②若OA為對角線，則PM為另一條對角線．
∵OA中點為（

5

2

，0），設M（m，2m），
∴P（5-m，-2m）．
∵P點在拋物線上，
∴

1

6

(5-m)2-

5

6

(5-m)=-2m，
解得m₅=0（舍），m₆=-7．
∴P（12，14）．
綜上，符合條件的P點共有3個，它們分別是P₁（12，14）、P₂（-3，4）、P₃（20，50）．

點評：本題主要考查了拋物線解析式的確定、拋物線的性質、平行四邊形的性質定理，各小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏，熟練二次函數在實際問題中的應用