Question

如圖，⊙O的直徑AB=6，AD、BC是⊙O的兩條切線，AD=2，BC=．

（1）求OD、OC的長(zhǎng)；

（2）求證：△DOC∽△OBC；

（3）求證：CD是⊙O切線．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵AD、BC是⊙O的兩條切線，∴∠OAD=∠OBC=90°。

在Rt△AOD與Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，

根據(jù)勾股定理得：。

（2）證明：過(guò)D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，

∴四邊形ABED為矩形。

∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=。

在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理得：，

∴。

∴△DOC∽△OBC。

（3）證明：過(guò)O作OF⊥DC，交DC于點(diǎn)F，

∵△DOC∽△OBC，∴∠BCO=∠FCO。

∵在△BCO和△FCO中，，

∴△BCO≌△FCO（AAS）。∴OB=OF。

∴CD是⊙O切線。

【解析】

試題分析：（1）由AB的長(zhǎng)求出OA與OB的長(zhǎng)，根據(jù)AD，BC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，利用勾股定理即可求出OD與OC的長(zhǎng)。

（2）過(guò)D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似即可得證。

（3）過(guò)O作OF垂直于CD，根據(jù)（2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OF=OB，即OF為圓的半徑，即可確定出CD為圓O的切線�！�