Question

如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)M，AD=BC，連接AC．
（Ⅰ）求證：△MAC是等腰三角形；
（Ⅱ）若AC為⊙O的直徑，AM=

5

，AB=

8 5

5

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ADM≌△CBM，△ADC≌△CBA，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
（2）連接OM，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．

解答：解：（1）∵AD=BC，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ADC與△CBA中，
∠ADC=∠ABC，AD=BC，∠BAC=∠ACD，
∴△ADC≌△CBA，
∴AB=CD，
在△ADM與△CBM中，
∠DAM=∠BCM，AD=BC，∠ADC=∠ABC，
∴△ADM≌△CBM，
∴DM=BM，
∴AM=CM，
∴△MAC是等腰三角形；

（2）連接OM，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∵△ACM是等腰三角形，O為AC的中點(diǎn)，
∴OM⊥AC，即∠AOM=90°，
在△AOM與△ABC中，
∠ABC=∠AOM=90°，∠BAC=∠BAC，
∴△AOM∽△ABC，
∴

OA

AB

=

AM

AC

，即

OA

8 5 5

=

5

AC

，解得AC=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．