Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點P（2，）為圓心的圓與y軸相切于
點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．如果
存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)；如果若不存在，請說明理由；

（3）如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再
到達x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．

Answer 1

.解：（1）BM=DM且BM⊥DM． ………2分

（2）成立． ……………3分

 理由如下：延長DM至點F，使MF=MD，聯(lián)結(jié)CF、BF、BD．

      易證△EMD≌△CMF．………4分

  ∴ED=CF，∠DEM=∠1．

∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，

       ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．

       ∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．

       ∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，

∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）

=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ．

 ∴∠8=∠BAD．………5分

  又AD=CF． ∴△ABD≌△CBF．

∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分

  ∴∠DBF=∠ABC=90°．

∵MF=MD，

 ∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分