Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點B的直線交⊙O₁、⊙O₂于C、D，的中點為M，AM交⊙O₁于E，交CD于F，連CE、AD、DM．
（1）求證：AM•EF=DM•CE；　
（2）求證：；
（3）若BC=5，BD=7，CF=2DF，AM=4MF，求MF和CE的長．

Answer 1

（1）證明：連AB，
∵的中點為M，
∴∠BAM=∠MAD，
∵∠ABF+∠BAF+∠AFB=∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°，
∴∠AFB=∠ADM，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ECF=∠MAD，
∴△CEF∽△AMD，
∴，
∴AM•EF=DM•CE；

（2）證明：∵∠C=∠BAF，∠BAF=∠BDM，
∴∠C=∠BDM，
∴CE∥DM，
∴，
∵△CEF∽△AMD，
∴，
∴=•=

（3）解：∵BC=5，BD=7，
∴CD=BC+BD=12，
∵CF=2DF，
∴CF=8，F(xiàn)D=4，
∵△CEF∽△AMD，
∴，
∵CE∥DM，
∴，
∴，
∴
∴DM=DF=4
∵AM=4MF=8，
∴MF=2，
∴CE=8．
分析：（1）首先連接AB，由的中點為M，易得：∠BAM=∠MAD與∠BAM=∠MAD，則可求得∠AFB=∠ADM；由同弧所對的圓周角相等，可得∠BAF=∠BCE，則得∠ECF=∠MAD，即可證得△CEF∽△AMD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得AM•EF=DM•CE；
（2）首先易證得CE∥DM，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得，又由△CEF∽△AMD，可得
，則問題得證；
（3）首先由相似三角形的性質(zhì)與平行線分線段成比例定理，求得MF與CE的值即可．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．